Angka Penting Dan Angka Pasti
Angka Penting
Angka penting disebut juga angka berarti atau angka
signifikan,yaitu angka yang menunjukkan ketelitian atau ketidakpastian alat
ukur yang digunakan. Aangka penting pasti diproleh dari hasil pengukuran. Angka
yang bukan berasal dari hasil pengukuran
disebut angka eksak,misalnya jumlah siswa dalam 1kelas 30 orang.
Semakin banyak angka penting dalam suatu hasil
pengukuran,semakin telitilah alat ukurnya. contoh panjang rusuk kubus menurut
jangka sorong adalah 13,4 mm dan menurut mikrometer sekrup 13,45 terdiri atas 4
angka penting .ketelitian jangka sorong lebih redah dibandingkan ketelitian
mikrometer sekrup.
Angka
penting terdiri dari angka pasti dan angka taksiran (angka perkiraan atau angka
yang diragukan). misalnya pada pembacaan panjang rusuk kubus dengan menggunakan
mistar diproleh angka 13,4 cm. angka 1 dan 3 adalah angka pasti karena jelas
terdapat pada skla.angka 4 diproleh dari perkiraan atau angka diragukan. angka
perkiraan selalu berada pada posisi terakhir atau diberi tanda khusus (misalnya
garis bawah atau dicetak tebal). di belakang angka perkiraan bukan angka penting lagi dan tidak mempunyai
arti.
A. Pengertian
Angka Penting (Significant Figures)
Mengukur sangat berbeda dengan menghitung, walupun keduanya mengaitkan
angka-angka dengan suatu benda. Kita dapat menghitung jumlah lembaran buku secara pasti. Akan tetapi,
pengukuran selalu memiliki ketidakpastian. Misalnya
ketebalan kertas yang diukur dengan menggunakan micrometer sekrup.
Tinggi benda yang diukur dengan menggunakan meteran. Diameter tabung
yang diukur dengan menggunakan jangka sorong. Massa benda yang diukur
menggunakan neraca atau timbangan. Suhu yang diukur dengan
menggunakan termometer. Kuat arus yang diukur menggunakan amperemeter
Bila kita mengukur panjang suatu benda dengan mistar berskala mm (mempunyai
batas ketelitian 0,5 mm) dan melaporkan hasilnya dalam 4 angka penting, yaitu
114,5 mm. Jika panjang benda tersebut kita ukur dengan jangka sorong (jangka sorong
mempunyai batas ketelitian 0,1 mm) maka hasilnya dilaporkan dalam 5 angka
penting, misalnya 114,40 mm, dan jika diukur dengan mikrometer sekrup
(Mikrometer sekrup mempunyai batas ketelitian 0,01 mm) maka hasilnya dilaporkan
dalam 6 angka penting, misalnya 113,390 mm. Ini menunjukkan bahwa banyak angka
penting yang dilaporkan sebagai hasil pengukuran mencerminkan ketelitian suatu
pengukuran. Makin banyak angka penting yang dapat dilaporkan, makin teliti
pengukuran tersebut. Semakin besar tingkat ketelitian alat ukur, maka
semakin kecil tingkat ketidakpastian dalam pengukuran. Tentu saja pengukuran panjang dengan
mikrometer sekrup lebih teliti dari jangka sorong dan mistar.
Pada hasil pengukuran mistar tadi dinyatakan dalam bilangan penting yang
mengandung 4 angka penting : 114,5 mm. Tiga angka pertama, yaitu: 1, 1, dan 4
adalah angka eksak/pasti karena dapat dibaca pada skala, sedangkan satu angka
terakhir, yaitu 5 adalah angka taksiran karena angka ini tidak bisa dibaca pada
skala, tetapi hanya ditaksir.
Jadi, angka
penting adalah bilangan yang diperoleh dari hasil pengukuran dengan menggunakan alat ukur, yang terdiri
dari angka-angka penting yang sudah pasti (terbaca pada alat ukur) dan satu
angka terakhir yang ditafsir atau
diragukan.
Sedangkan angka hasil perhitungan, bukan termasuk angka penting.
Sebagai contoh jumlah mahasiswa Pendidikan Fisika kelas A 09, Unimed adalah 50
orang. Maka angka 50 tidak memiliki angka penting, karena angka 50 merupakan
angka hasil menghitung, bukan angka hasil mengukur.
Jadi, angka eksak/pasti adalah angka yang sudah pasti
(tidak diragukan nilainya), yang diperoleh dari kegiatan membilang
(menghitung).
B. Aturan
Angka Penting
Tujuan dari pengukuran adalah menunjukkan hasil pengukuran tersebut pada orang
lain sehingga orang tersebut mengerti dan paham. Untuk itu diperlukan suatu
aturan agar penyajian hasil pengukuran tersebut mudah dipahami dan tetap
memberikan keakuratan yang dibutuhkan. Aturan yang dimaksud di atas adalah aturan
angka penting. Berikut aturan angka penting :
1. Semua angka
yang bukan nol adalah angka penting,
Contoh : Hasil pengukuran 65,89 cm (4 angka penting)
2. Angka nol yang terletak di antara angka bukan nol adalah angka penting.
Contoh : Hasil pengukuran 65,89 cm (4 angka penting)
2. Angka nol yang terletak di antara angka bukan nol adalah angka penting.
Contoh : 1,002 (4
angka penting)
3. Angka nol di sebelah
kanan tanda desimal dan tidak diapit angka bukan nol bukan angka
penting,
Contoh : 25,00 (2 angka penting)
25,000 (2 angka penting)
2500 (4 angka penting, mengapa ? sebab tidak ada tanda desimalnya) 4. Bilangan-bilangan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya yang memiliki angka-angka nol pada deretan akhir harus dituliskan dalam notasi ilmiah agar jelas apakah angka-angka nol tersebut adalah angka penting atau bukan.
Contoh : 25,00 (2 angka penting)
25,000 (2 angka penting)
2500 (4 angka penting, mengapa ? sebab tidak ada tanda desimalnya) 4. Bilangan-bilangan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya yang memiliki angka-angka nol pada deretan akhir harus dituliskan dalam notasi ilmiah agar jelas apakah angka-angka nol tersebut adalah angka penting atau bukan.
Contoh :
|
Angka
|
Jumlah Angka Penting
|
|
0,00342
|
3
|
|
342
|
3
|
|
340
|
2 atau 3
|
Angka terakhir
pada contoh di atas bersifat ambigu. Untuk menghilangkan sifat ambigu,
notasi ilmiah harus dipakai.
|
Angka
|
Jumlah Angka Penting
|
|
3,42 x 10-3
|
3
|
|
3,42 x 102
|
3
|
|
3,40 x 102
|
3
|
|
3,4 x 102
|
2
|
5.
Semua angka sebelum orde (Pada notasi ilmiah) termasuk angka penting. Contoh : 3,2
x 105 memiliki dua angka penting, yakni 3 dan 2. 4,50 x 103
memiliki tiga angka penting, yakni 4, 5 dan
0.
6. Angka nol yang berada di belakang angka bukan nol, bukan termasuk angka penting kecuali setelah ditentukan letak desimalnya. Misalnya angka 12500, harus diubah dulu menjadi 1,25 x 104 berarti memiliki 3 angka penting. Jika kita mengubahnya menjadi 1,250 x 104 berarti terdapat 4 angka penting,
6. Angka nol yang berada di belakang angka bukan nol, bukan termasuk angka penting kecuali setelah ditentukan letak desimalnya. Misalnya angka 12500, harus diubah dulu menjadi 1,25 x 104 berarti memiliki 3 angka penting. Jika kita mengubahnya menjadi 1,250 x 104 berarti terdapat 4 angka penting,
7. Angka nol yang terletak
di sebelah kiri angka bukan nol atau setelah tanda desimal bukan
angka penting.
Contoh : 0,00556 = 3 angka penting
0,00006500 = 4 angka penting
Contoh : 0,00556 = 3 angka penting
0,00006500 = 4 angka penting
8. Batasan jumlah angka
penting bergantung dengan tanda yang diberikan pada urutan angka
dimaksud. Dengan kata lain, Angka nol pada deretan akhir sebuah bilangan
termasuk angka penting, kecuali kalau angka sebelum nol diberi
garis bawah.
Contoh: 1500 ton (memiliki 4 angka penting) tapi kalau
ada garis bawah di angka 0 pertama maka angka pentingnya jadi 3.
CONTOH SOAL
:
Hitunglah jumlah angka penting pada angka-angka dibawah ini.
Hitunglah jumlah angka penting pada angka-angka dibawah ini.
1. 1,0050
2. 23,4000
3. 0,010025
4. 13,000124
5. 4500
6. 1,2 x 105
7. 1,20 x 103
Jawaban dari
soal diatas adalah
1. 5 angka penting
yakni 1, 0, 0, 5, 0
2. 6 angka penting
yakni 2, 3, 4, 0, 0, 0
3. 5 angka penting
yakni 1, 0, 0, 2, 5
4. 8 angka penting
yakni 1, 3 ,0, 0, 0, 1, 2, 4
5. 4500 harus
diubah dulu menjadi bentuk baku 4,5 x 103 jadi ada 2 angka
penting yakni 4, 5 namun jika kita mengubahnya menjadi 4,50 x 103
maka ada 3 angka penting yakni 4, 5, 0
6. 2 angka penting
yakni 1, 2
7. 3 angka penting
yakni 1, 2, 0
Dua poin penting yang harus dibuat tentang angka penting:
1.Definisi eksak
mempunyai jumlah tak terdefinisi angka penting. Contoh, satu inch
terdefinisi dengan pasti 2,54 centimeter, 1,000000+
inch = 2,54000000+ centimeter di mana
tanda”+” mengindikasikan ada jumlah
tak terdefinisi angka nol. Secara umum nol tidak akan ditulis.
2.Angka-angka yang
dihasilkan dari hubungan matematika eksak mempunyai jumlah
tak terdefinisi angka penting.
Untuk mengatasi
permasalahan jumlah angka penting yang tak terdefinisi, perlu dilakukan
pembulatan angka.
Aturan Pembulatan
1.
Jika angka pertama setelah angka yang hendak dipertahankan adalah 4 atau lebih
kecil, maka angka itu dan seluruh angka disebelah kanannya ditiadakan. Contoh
(1) : 75,494 = 75,49 (angka 4 yang dicetak tebal ditiadakan). Contoh (2)
: 1,00839 = 1,008 ( kedua angka yang dicetak tebal ditiadakan)
2. Jika angka pertama setelah angka yang
akan anda pertahankan adalah 5 atau lebih besar, maka angka
tersebut dan seluruh angka di bagian kanannya ditiadakan. Angka terakhir
yang dipertahankan bertambah satu
Secara ringkas dapat disimpulkan :
Membulatkan ke atas jika angka di belakang pemotongan
di antara 5-9 Tidak dibulatkan ke atas jika angka di belakang
pemotongan di antara 0-4
|
Hasil pada Kalkulator
|
Jumlah Angka Penting yang Dibutuhkan
|
Angka yang Dilaporkan
|
|
5.937.458
|
3
|
5.940.000
|
|
0,23946
|
3
|
0,239
|
|
0,23956
|
3
|
0,240
|
Contoh (1) 1,037878 = 1,038 (ketiga angka
yang diberi garis bawah dihilangkan, sedangkan angka 7 yang dicetak tebal,
dibulatkan menjadi 8).
Contoh (2) 28,02500 = 28,03 (ketiga angka
yang diberi garis bawah ditiadakan. Angka 2 yang dicetak tebal diubah menjadi
3).
Contoh (3) : 12,897 = 12,90 (angka 7 yang diberi garis bawah
ditiadakan. Angka 8 dan 9 yang dicetak tebal diubah menjadi 90.
C. Operasi
Angka Penting
Operasi angka penting yang akan kita bahas adalah penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pengkuadratan dan pengakaran.
Operasi angka penting yang akan kita bahas adalah penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pengkuadratan dan pengakaran.
1. Penjumlahan
angka penting dan Pengurangan angka penting
Perlu diingat
bahwa, penjumlahan atau pengurangan angka penting akan menghasilkan angka
penting yang memiliki satu angka taksiran. Terlebih dahulu kita harus paham
tentang angka taksiran, angka taksiran adalah angka yang hasilnya tidak
pasti. Misalnya ketika anda mengukur panjang paku menggunakan penggaris,
anda mendapatkan angka 5,6 cm lebih sedikit. Nah kemudian anda menerka-nerka sendiri angka
lebih sedikit tersebut sehingga menjadi 5,64 cm. Berarti angka 4 adalah
angka taksiran.
Prosedur yang benar untuk penjumlahan / penguranngan angka penting :
1. Meratakan poin
decimal
2. Menandai angka penting terakhir setiap nomor dengan tanda panah
3. Mengkalkulasikan jawaban
4. Tanda panah paling jauh ke kiri dari angka penting terakhir jawaban
Penjumlahan Angka Penting :
Contoh 1 :
5,64 (angka 4
adalah angka taksiran)
1,3 + (angka 3 adalah angka taksiran)
6,94 (ada dua angka taksiran yakni, angka 9 dan
angka 4)
Padahal hasil
penjumlahan harus berisi satu angka taksiran. Jadi angka 4 harus
dibulatkan, sehingga hasil penjumlahan menjadi 6,9.
Contoh 2 :
Jumlahkan 273,219 g; 15,5 g;
dan 8,43 g (jumlahkan seperti biasa, selanjutnya
bulatkan hasilnya hingga hanya terdapat satu angka taksiran)
Angka 4 dan 9 ditiadakan. Hasilnya = 297,1
Pengurangan
Angka Penting
2,864
(angka 4 adalah angka taksiran)
1,2 - (angka 2 adalah angka
taksiran)
1,664
(angka 6 dan angka 4 adalah angka taksiran)
Karena hasil
pengurangan harus mengandung satu angka taksiran maka hasil pengurangan
menjadi 1,7.
2. Perkalian
angka penting dan pembagian angka penting
Pada operasi perkalian atau pembagian, hasil yang diperoleh hanya boleh
memiliki jumlah angka penting sebanyak bilangan yang angka pentingnya paling
sedikit.
Hasil perkalian atau pembagian antara bilangan penting dengan bilangan
eksak/pasti hanya boleh memiliki angka penting sebanyak jumlah angka penting
pada bilangan penting
Prosedur yang benar untuk perkalian / pembagian angka penting :
1. Mengindikasikan jumlah angka penting untuk
setiap angka
2. Mengkalkulasikan
jawaban
3. Membulatkan jawaban agar mempunyai jumlah
angka penting yang sama seperti angka dengan jumlah angka penting
terkecil 5,0 x 10,624 = 53,120 menjadi 53
Perkalian
Angka Penting
Contoh 1 :
1,253
(mengandung 4 angka penting)
1,1 x (mengandung 2 angka penting)
1,3783
(mengandung 5 angka penting)
Padahal hasil
perkalian harus mengandung jumlah angka penting yang paling sedikit dari faktor
pengali, dalam hal ini faktor pengali yang memiliki angka penting paling
sedikit adalah 1.1 yakni memiliki 2 angka penting sehingga hasil perkalian
harus mengandung 2 angka penting. Maka hasil perkalian menjadi 1,4.
Contoh 2 :
Hitunglah operasi
perkalian berikut ini : 0,6283 x 2,2 cm
(petunjuk : lakukanlah prosedur perkalian atau
pembagian dengan cara biasa. Kemudian bulatkan hasilnya hinga memiliki angka
penting sebanyak salah satu bilangan yang memiliki angka penting paling sedikit)
Hasilnya dibulatkan menjadi 1,4 cm2
(dua angka penting)
Contoh 3 :
Hitunglah operasi
perkalian berikut ini : 25 x 8,95
Hasilnya dibulatkan menjadi 224 cm (tiga angka
penting) agar sama dengan banyak angka penting pada bilangan penting 8,95
Contoh 4 :
3,4 x 6,7 = … ?
Jumlah angka penting paling sedikit
adalah dua (3,4 dan 6,7 mempunyai dua angka penting)
Hasil perkaliannya adalah 22,78. Hasil
ini harus dibulatkan menjadi 23 (dua angka penting)
3,4 x 6,7 = 23
Contoh 5 :
2,5 x 3,2 = … ?
Jumlah angka penting paling sedikit
adalah dua (2,5 dan 3,2 punya dua angka penting)
Jika kita
hitung pakai kalkulator, hasilnya adalah 8. Harus ditambahkan nol.
2,5 x 3,2 = 8,0 (dua angka penting)
Contoh 6 :
1,0 x 2,0 = 2,0 (dua
angka penting), bukan 2
Pembagian angka penting cara kerjanya sama dengan perkalian angka
penting.
Pembagian Angka Penting :
Contoh 1 :
2,0 : 3,0 = …. ?
(angka penting paling sedikit adalah dua)
Jika anda memakai kalkulator maka
hasilnya adalah 0,66666666666666666 dan seterusnya… harus dibulatkan hingga
hanya ada dua angka penting :
2,0 : 3,0 = 0,67
(dua angka penting, yakni 6 dan 7)
Contoh 2 :
2,1 : 3,0 = …. ?
(angka penting paling sedikit adalah dua)
Jika anda memakai kalkulator maka
hasilnya adalah 0,7… harus ditambahkan nol sehingga terdapat dua angka penting
:
2,1 : 3,0 = 0,70
(dua angka penting, yakni 7 dan 0)
3. Pengkuadratan
angka penting dan pengakaran angka penting
Hasil pengkuadratan angka penting harus mengandung jumlah angka penting yang sama dengan jumlah angka penting yang dikuadratkan. Demikian juga pada penarikan akar angka penting. Contoh mengkuadratkan angka penting.
(1,5)2 hasilnya adalah 2.3, kenapa? 1,5 jika dikuadratkan adalah 2,25 tetapi karena hasil pengkuadratan angka penting harus memiliki jumlah angka penting yang sama dengan jumlah angka penting bilangan yang dikuadratkan maka hasilnya menjadi 2,3
Hasil pengkuadratan angka penting harus mengandung jumlah angka penting yang sama dengan jumlah angka penting yang dikuadratkan. Demikian juga pada penarikan akar angka penting. Contoh mengkuadratkan angka penting.
(1,5)2 hasilnya adalah 2.3, kenapa? 1,5 jika dikuadratkan adalah 2,25 tetapi karena hasil pengkuadratan angka penting harus memiliki jumlah angka penting yang sama dengan jumlah angka penting bilangan yang dikuadratkan maka hasilnya menjadi 2,3
Angka Pasti
Angka Penting
“ Semua angka yang diperoleh dari hasil pengukuran disebut
ANGKA PENTING, terdiri atas angka-angka pasti dan angka-angka terakhir yang
ditaksir ( Angka taksiran ). Hasil pengukuran dalam fisika tidak pernah eksak,
selalu terjadi kesalahan pada waktu mengukurnya. Kesalahan ini dapat diperkecil
dengan menggunakan alat ukur yang lebih teliti.
- Semua angka yang bukan nol adalah angka penting. Contoh : 14,256 ( 5 angka penting ).
- Semua angka nol yang terletak di antara angka-angka bukan nol adalah angka penting. Contoh : 7000,2003 ( 9 angka penting ).
- Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, tetapi terletak di depan tanda desimal adalah angka penting.Contoh : 70000, ( 5 angka penting).
- Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan di belakang tanda desimal adalah angka penting.Contoh : 23,50000 ( 7 angka penting ).
- Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan tidak dengan tanda desimal adalah angka tidak penting.Contoh : 3500000 ( 2 angka penting ).
- Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama adalah angka tidak penting.Contoh : 0,0000352 ( 3 angka penting ).
Ketentuan – Ketentuan Pada Operasi
Angka Penting :
1. Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan dengan angka-angka penting hanya boleh terdapat SATU ANGKA TAKSIRAN saja.
Contoh : 2,34 angka 4 taksiran
0,345 + angka 5 taksiran
2,685 angka 8 dan 5 ( dua angka terakhir ) taksiran.
maka ditulis : 2,69
( Untuk penambahan/pengurangan perhatikan angka dibelakang koma yang paling sedikit).
13,46 angka 6 taksiran
2,2347 - angka 7 taksiran
11,2253 angka 2, 5 dan 3 ( tiga angka terakhir ) taksiran
maka ditulis : 11,23
2. Angka penting pada hasil perkalian dan pembagian, sama banyaknya dengan angka penting yang paling sedikit.
Contoh : 8,141 ( empat angka penting )
0,22 x ( dua angka penting )
1,79102
Penulisannya : 1,79102 ditulis 1,8 ( dua angka penting )
1,432 ( empat angka penting )
2,68 : ( tiga angka penting )
0,53432
Penulisannya : 0,53432 di tulis 0,534 ( tiga angka penting )
3. Untuk angka 5 atau lebih dibulatkan ke atas, sedangkan angka kurang dari 5 dihilangkan.
1. Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan dengan angka-angka penting hanya boleh terdapat SATU ANGKA TAKSIRAN saja.
Contoh : 2,34 angka 4 taksiran
0,345 + angka 5 taksiran
2,685 angka 8 dan 5 ( dua angka terakhir ) taksiran.
maka ditulis : 2,69
( Untuk penambahan/pengurangan perhatikan angka dibelakang koma yang paling sedikit).
13,46 angka 6 taksiran
2,2347 - angka 7 taksiran
11,2253 angka 2, 5 dan 3 ( tiga angka terakhir ) taksiran
maka ditulis : 11,23
2. Angka penting pada hasil perkalian dan pembagian, sama banyaknya dengan angka penting yang paling sedikit.
Contoh : 8,141 ( empat angka penting )
0,22 x ( dua angka penting )
1,79102
Penulisannya : 1,79102 ditulis 1,8 ( dua angka penting )
1,432 ( empat angka penting )
2,68 : ( tiga angka penting )
0,53432
Penulisannya : 0,53432 di tulis 0,534 ( tiga angka penting )
3. Untuk angka 5 atau lebih dibulatkan ke atas, sedangkan angka kurang dari 5 dihilangkan.
