angka penting dan angka ketidak pastian

Angka Penting Dan Angka Pasti

Angka Penting

Angka penting disebut juga angka berarti atau angka signifikan,yaitu angka yang menunjukkan ketelitian atau ketidakpastian alat ukur yang digunakan. Aangka penting pasti diproleh dari hasil pengukuran. Angka yang bukan berasal  dari hasil pengukuran disebut angka eksak,misalnya jumlah siswa dalam 1kelas 30 orang.

Semakin banyak angka penting dalam suatu hasil pengukuran,semakin telitilah alat ukurnya. contoh panjang rusuk kubus menurut jangka sorong adalah 13,4 mm dan menurut mikrometer sekrup 13,45 terdiri atas 4 angka penting .ketelitian jangka sorong lebih redah dibandingkan ketelitian mikrometer sekrup.

            Angka penting terdiri dari angka pasti dan angka taksiran (angka perkiraan atau angka yang diragukan). misalnya pada pembacaan panjang rusuk kubus dengan menggunakan mistar diproleh angka 13,4 cm. angka 1 dan 3 adalah angka pasti karena jelas terdapat pada skla.angka 4 diproleh dari perkiraan atau angka diragukan. angka perkiraan selalu berada pada posisi terakhir atau diberi tanda khusus (misalnya garis bawah atau dicetak tebal). di belakang angka perkiraan  bukan angka penting lagi dan tidak mempunyai arti.

A. Pengertian Angka Penting (Significant Figures)

          Mengukur sangat berbeda dengan menghitung, walupun keduanya mengaitkan angka-angka dengan suatu benda. Kita dapat menghitung jumlah lembaran buku secara pasti. Akan tetapi, pengukuran selalu memiliki ketidakpastian. Misalnya ketebalan kertas yang diukur dengan menggunakan micrometer sekrup. Tinggi benda yang diukur dengan menggunakan meteran. Diameter tabung yang diukur dengan menggunakan jangka sorong. Massa benda yang diukur menggunakan neraca atau timbangan. Suhu yang diukur dengan menggunakan termometer. Kuat arus yang diukur menggunakan amperemeter

          Bila kita mengukur panjang suatu benda dengan mistar berskala mm (mempunyai batas ketelitian 0,5 mm) dan melaporkan hasilnya dalam 4 angka penting, yaitu 114,5 mm. Jika panjang benda tersebut kita ukur dengan jangka sorong (jangka sorong mempunyai batas ketelitian 0,1 mm) maka hasilnya dilaporkan dalam 5 angka penting, misalnya 114,40 mm, dan jika diukur dengan mikrometer sekrup (Mikrometer sekrup mempunyai batas ketelitian 0,01 mm) maka hasilnya dilaporkan dalam 6 angka penting, misalnya 113,390 mm. Ini menunjukkan bahwa banyak angka penting yang dilaporkan sebagai hasil pengukuran mencerminkan ketelitian suatu pengukuran. Makin banyak angka penting yang dapat dilaporkan, makin teliti pengukuran tersebut. Semakin besar tingkat ketelitian alat ukur, maka semakin kecil tingkat ketidakpastian dalam pengukuran. Tentu saja pengukuran panjang dengan mikrometer sekrup lebih teliti dari jangka sorong dan mistar.

Pada hasil pengukuran mistar tadi dinyatakan dalam bilangan penting yang mengandung 4 angka penting : 114,5 mm. Tiga angka pertama, yaitu: 1, 1, dan 4 adalah angka eksak/pasti karena dapat dibaca pada skala, sedangkan satu angka terakhir, yaitu 5 adalah angka taksiran karena angka ini tidak bisa dibaca pada skala, tetapi hanya ditaksir.

          Jadi, angka penting adalah bilangan yang diperoleh dari hasil pengukuran dengan menggunakan alat ukur, yang terdiri dari angka-angka penting yang sudah pasti (terbaca pada alat ukur) dan satu angka terakhir yang ditafsir atau diragukan.       

          Sedangkan angka hasil perhitungan, bukan termasuk angka penting. Sebagai contoh jumlah mahasiswa Pendidikan Fisika kelas A 09, Unimed adalah 50 orang. Maka angka 50 tidak memiliki angka penting, karena angka 50 merupakan angka hasil menghitung, bukan angka hasil mengukur.           

          Jadi, angka eksak/pasti adalah angka yang sudah pasti (tidak diragukan nilainya), yang diperoleh dari kegiatan membilang  (menghitung).

B. Aturan Angka Penting                                                                               

  Tujuan dari pengukuran adalah menunjukkan hasil pengukuran tersebut pada orang lain sehingga orang tersebut mengerti dan paham. Untuk itu diperlukan suatu aturan agar penyajian hasil pengukuran tersebut mudah dipahami dan tetap memberikan keakuratan yang dibutuhkan. Aturan yang dimaksud di atas adalah aturan angka penting. Berikut aturan angka penting :

1.     Semua angka yang bukan nol adalah angka penting,
      Contoh : Hasil pengukuran  65,89 cm  (4 angka penting)                       
2.     Angka nol yang terletak di antara angka bukan nol adalah angka penting.  

      Contoh : 1,002         (4 angka penting)                                                                      

3.     Angka nol di sebelah kanan tanda desimal dan tidak diapit angka bukan nol bukan angka penting,
       Contoh : 25,00   (2 angka penting)
                   25,000  (2 angka penting)
                   2500    (4 angka penting, mengapa ? sebab tidak ada tanda  desimalnya)                                     4.     Bilangan-bilangan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya yang  memiliki angka-angka nol pada deretan akhir harus dituliskan dalam   notasi ilmiah agar jelas apakah angka-angka nol tersebut adalah angka penting atau bukan.                                                 

          Contoh :                                                             

Angka	Jumlah Angka Penting
0,00342	3
342	3
340	2 atau 3

  Angka terakhir pada contoh di atas bersifat ambigu. Untuk   menghilangkan sifat ambigu, notasi ilmiah harus dipakai.

Angka	Jumlah Angka Penting
3,42 x 10-3	3
3,42 x 102	3
3,40 x 102	3
3,4 x 102	2

5.     Semua angka sebelum orde (Pada notasi ilmiah) termasuk angka penting. Contoh : 3,2 x 10⁵ memiliki dua angka penting, yakni 3 dan 2. 4,50 x 10³ memiliki tiga angka penting, yakni 4, 5 dan 0.                      
6.     Angka nol yang berada di belakang angka bukan nol, bukan termasuk angka penting kecuali setelah ditentukan letak desimalnya. Misalnya angka 12500, harus diubah dulu menjadi 1,25 x 10⁴ berarti memiliki 3 angka penting. Jika kita mengubahnya menjadi 1,250 x 10⁴ berarti terdapat 4 angka penting,

7.     Angka nol yang terletak di sebelah kiri angka bukan nol atau setelah   tanda desimal bukan angka penting.
     Contoh : 0,00556         = 3 angka penting
                   0,00006500  = 4 angka penting

8.     Batasan jumlah angka penting bergantung dengan tanda yang diberikan pada urutan angka dimaksud.  Dengan kata lain, Angka nol pada deretan akhir sebuah bilangan   termasuk angka penting, kecuali kalau angka sebelum nol diberi garis bawah.        

Contoh: 1500 ton (memiliki 4 angka penting) tapi kalau ada garis bawah di angka 0 pertama maka angka pentingnya jadi 3.

CONTOH SOAL :          
Hitunglah jumlah angka penting pada angka-angka dibawah ini.

1.     1,0050

2.     23,4000

3.     0,010025

4.     13,000124

5.     4500

6.     1,2 x 10⁵

7.     1,20 x 10³

Jawaban dari soal diatas adalah

1.     5 angka penting yakni 1, 0, 0, 5, 0

2.     6 angka penting yakni 2, 3, 4, 0, 0, 0

3.     5 angka penting yakni 1, 0, 0, 2, 5 

4.     8 angka penting yakni 1, 3 ,0, 0, 0, 1, 2, 4

5.     4500 harus diubah dulu menjadi bentuk baku 4,5 x 10³ jadi ada 2  angka penting yakni 4, 5 namun jika kita mengubahnya menjadi 4,50 x 10³ maka ada 3 angka penting yakni 4, 5, 0

6.     2 angka penting yakni 1, 2

7.     3 angka penting yakni 1, 2, 0 

Dua poin penting yang harus dibuat tentang angka penting:

1.Definisi eksak mempunyai jumlah tak terdefinisi angka penting.  Contoh, satu inch terdefinisi dengan  pasti 2,54 centimeter, 1,000000⁺      inch = 2,54000000⁺ centimeter di mana tanda”+” mengindikasikan ada         jumlah tak terdefinisi angka nol. Secara umum nol tidak akan ditulis.

2.Angka-angka yang dihasilkan dari hubungan matematika eksak     mempunyai jumlah tak terdefinisi angka penting.

Untuk mengatasi permasalahan jumlah angka penting yang tak terdefinisi, perlu dilakukan pembulatan angka.

Aturan Pembulatan

1.     Jika angka pertama setelah angka yang hendak dipertahankan adalah 4 atau lebih kecil, maka angka itu dan seluruh angka disebelah kanannya ditiadakan. Contoh (1) : 75,494 = 75,49 (angka 4 yang dicetak tebal ditiadakan). Contoh (2) : 1,00839 = 1,008 ( kedua angka yang dicetak tebal ditiadakan)

2.  Jika angka pertama setelah angka yang akan anda pertahankan adalah    5 atau lebih besar, maka angka tersebut dan seluruh angka di bagian   kanannya ditiadakan. Angka terakhir yang dipertahankan  bertambah  satu

Secara ringkas dapat disimpulkan :

       Membulatkan ke atas jika angka di belakang pemotongan di antara 5-9   Tidak dibulatkan ke atas jika angka di belakang pemotongan di antara          0-4

Hasil pada Kalkulator	Jumlah Angka Penting yang Dibutuhkan	Angka yang Dilaporkan
5.937.458	3	5.940.000
0,23946	3	0,239
0,23956	3	0,240

Contoh (1) 1,037878 = 1,038 (ketiga angka yang diberi garis bawah dihilangkan, sedangkan angka 7 yang dicetak tebal, dibulatkan menjadi 8). 

Contoh (2) 28,02500 = 28,03 (ketiga angka yang diberi garis bawah ditiadakan. Angka 2 yang dicetak tebal diubah menjadi 3).             

Contoh (3) : 12,897 = 12,90 (angka 7 yang diberi garis bawah ditiadakan. Angka 8 dan 9 yang dicetak tebal diubah menjadi 90.

C. Operasi Angka Penting 
Operasi angka penting yang akan kita bahas adalah penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pengkuadratan dan pengakaran.

1.     Penjumlahan angka penting dan Pengurangan angka penting

Perlu diingat bahwa, penjumlahan atau pengurangan angka penting akan menghasilkan angka penting yang memiliki satu angka taksiran. Terlebih dahulu kita harus paham tentang angka taksiran, angka taksiran adalah angka yang hasilnya tidak pasti. Misalnya ketika anda mengukur panjang paku menggunakan penggaris, anda mendapatkan angka 5,6 cm lebih sedikit. Nah kemudian anda menerka-nerka sendiri angka lebih sedikit tersebut sehingga menjadi 5,64 cm. Berarti angka 4 adalah angka taksiran.

Prosedur yang benar untuk penjumlahan / penguranngan angka penting :

     1. Meratakan poin decimal                                

     2. Menandai angka penting terakhir setiap nomor dengan tanda panah       

     3. Mengkalkulasikan jawaban                                                 

     4. Tanda panah paling jauh ke kiri dari angka penting terakhir jawaban

Penjumlahan Angka Penting :

Contoh 1 :

 5,64     (angka 4 adalah angka taksiran)

 1,3  +  (angka 3 adalah angka taksiran)

 6,94    (ada dua angka taksiran yakni, angka 9 dan angka 4)

Padahal hasil penjumlahan harus berisi satu angka taksiran. Jadi angka 4 harus dibulatkan, sehingga hasil penjumlahan menjadi 6,9.

Contoh 2 :

Jumlahkan 273,219 g; 15,5 g; dan 8,43 g (jumlahkan seperti biasa, selanjutnya bulatkan hasilnya hingga hanya terdapat satu angka taksiran)

Angka 4 dan 9 ditiadakan. Hasilnya = 297,1

Pengurangan Angka Penting

2,864    (angka 4 adalah angka taksiran)

1,2   -    (angka 2 adalah angka taksiran)

1,664    (angka 6 dan angka 4 adalah angka taksiran)

Karena hasil pengurangan harus mengandung satu angka taksiran maka hasil pengurangan menjadi 1,7.

2. Perkalian angka penting dan pembagian angka penting

          Pada operasi perkalian atau pembagian, hasil yang diperoleh hanya boleh memiliki jumlah angka penting sebanyak bilangan yang angka pentingnya paling sedikit.

          Hasil perkalian atau pembagian antara bilangan penting dengan bilangan eksak/pasti hanya boleh memiliki angka penting sebanyak jumlah angka penting pada bilangan penting

Prosedur yang benar untuk perkalian / pembagian angka penting :

1. Mengindikasikan jumlah angka penting untuk setiap angka 

2. Mengkalkulasikan jawaban                                             

3. Membulatkan jawaban agar mempunyai jumlah angka penting yang sama seperti angka dengan jumlah angka penting terkecil  5,0 x 10,624 = 53,120 menjadi 53 

Perkalian Angka Penting

Contoh 1 : 

1,253    (mengandung 4 angka penting)

1,1   x   (mengandung 2 angka penting)

1,3783 (mengandung 5 angka penting)

Padahal hasil perkalian harus mengandung jumlah angka penting yang paling sedikit dari faktor pengali, dalam hal ini faktor pengali yang memiliki angka penting paling sedikit adalah 1.1 yakni memiliki 2 angka penting sehingga hasil perkalian harus mengandung 2 angka penting. Maka hasil perkalian menjadi 1,4.

Contoh 2 :

Hitunglah operasi perkalian berikut ini : 0,6283 x 2,2 cm

(petunjuk : lakukanlah prosedur perkalian atau pembagian dengan cara biasa. Kemudian bulatkan hasilnya hinga memiliki angka penting sebanyak salah satu bilangan yang memiliki angka penting paling sedikit)

Hasilnya dibulatkan menjadi 1,4 cm² (dua angka penting)

Contoh 3 :

Hitunglah operasi perkalian berikut ini : 25 x 8,95

Hasilnya dibulatkan menjadi 224 cm (tiga angka penting) agar sama dengan banyak angka penting pada bilangan penting 8,95

Contoh 4 :

3,4 x 6,7 = … ?

Jumlah angka penting paling sedikit adalah dua (3,4 dan 6,7 mempunyai dua angka penting)

Hasil perkaliannya adalah 22,78. Hasil ini harus dibulatkan menjadi 23 (dua angka penting)

3,4 x 6,7 = 23

Contoh 5 :

2,5 x 3,2 = … ?

Jumlah angka penting paling sedikit adalah dua (2,5 dan 3,2 punya dua angka penting)

Jika kita hitung pakai kalkulator, hasilnya adalah 8. Harus ditambahkan nol.

2,5 x 3,2 = 8,0 (dua angka penting)

Contoh 6 :

1,0 x 2,0 = 2,0 (dua angka penting), bukan 2

Pembagian angka penting cara kerjanya sama dengan  perkalian angka penting.

Pembagian Angka Penting :

Contoh 1 :

2,0 : 3,0 = …. ?  (angka penting paling sedikit adalah dua)

Jika anda memakai kalkulator maka hasilnya adalah 0,66666666666666666 dan seterusnya… harus dibulatkan hingga hanya ada dua angka penting :

2,0 : 3,0 = 0,67 (dua angka  penting, yakni 6 dan 7)

Contoh 2 :

2,1 : 3,0 = …. ?  (angka penting paling sedikit adalah dua)

Jika anda memakai kalkulator maka hasilnya adalah 0,7… harus ditambahkan nol sehingga terdapat dua angka penting :

2,1 : 3,0 = 0,70 (dua angka  penting, yakni 7 dan 0)

3. Pengkuadratan angka penting dan pengakaran angka penting 
Hasil pengkuadratan angka penting harus mengandung jumlah angka penting yang sama dengan jumlah angka penting yang dikuadratkan. Demikian juga pada penarikan akar angka penting. Contoh mengkuadratkan angka penting.
(1,5)²  hasilnya adalah 2.3, kenapa? 1,5 jika dikuadratkan adalah 2,25 tetapi karena hasil pengkuadratan angka penting harus memiliki jumlah angka penting yang sama dengan jumlah angka penting bilangan yang dikuadratkan maka hasilnya menjadi 2,3

Angka Pasti

Angka Penting

“ Semua angka yang diperoleh dari hasil pengukuran disebut ANGKA PENTING, terdiri atas angka-angka pasti dan angka-angka terakhir yang ditaksir ( Angka taksiran ). Hasil pengukuran dalam fisika tidak pernah eksak, selalu terjadi kesalahan pada waktu mengukurnya. Kesalahan ini dapat diperkecil dengan menggunakan alat ukur yang lebih teliti.

1. Semua angka yang bukan nol adalah angka penting. Contoh : 14,256 ( 5 angka penting ).
2. Semua angka nol yang terletak di antara angka-angka bukan nol adalah angka penting. Contoh : 7000,2003 ( 9 angka penting ).
3. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, tetapi terletak di depan tanda desimal adalah angka penting.Contoh : 70000, ( 5 angka penting).
4. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan di belakang tanda desimal adalah angka penting.Contoh : 23,50000 ( 7 angka penting ).
5. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan tidak dengan tanda desimal adalah angka tidak penting.Contoh : 3500000 ( 2 angka penting ).
6. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama adalah angka tidak penting.Contoh : 0,0000352 ( 3 angka penting ).

Ketentuan – Ketentuan Pada Operasi Angka Penting :
1. Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan dengan angka-angka penting hanya boleh terdapat SATU ANGKA TAKSIRAN saja.
Contoh :  2,34       angka 4 taksiran
0,345 +  angka 5 taksiran
2,685      angka 8 dan 5 ( dua angka terakhir ) taksiran.
maka ditulis : 2,69
( Untuk penambahan/pengurangan perhatikan angka dibelakang koma yang paling sedikit).
13,46           angka 6 taksiran
2,2347 -  angka 7 taksiran
11,2253     angka 2, 5 dan 3 ( tiga angka terakhir ) taksiran
maka ditulis : 11,23
2. Angka penting pada hasil perkalian dan pembagian, sama banyaknya dengan angka penting yang paling sedikit.
Contoh :   8,141         ( empat angka penting )
0,22 x  ( dua angka penting )
1,79102
Penulisannya : 1,79102 ditulis 1,8 ( dua angka penting )
1,432          ( empat angka penting )
2,68 :         ( tiga angka penting )
0,53432
Penulisannya : 0,53432 di tulis 0,534 ( tiga angka penting )
3. Untuk angka 5 atau lebih dibulatkan ke atas, sedangkan angka kurang dari 5 dihilangkan.